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发布时间:2019-05-20  分类:推荐新闻  作者:admin  浏览:156

接连是微积分中极其重要的概念,是微积分的重要根底和思想观念,接连的严厉数学界说是根据极限的根底上的,有关极限的概念可拜见:极简微积分——了解极限

接连的感官知道

咱们大脑中函数图画的接连无非是说一个函数的坐标平面图画是没有阶梯的,没有缺失部分的,没有忽然改动的一种曲线。很粗鄙的说便是一个函数f(x),当x有一个细小的改动,对应的f(x)也就只要一个细小的改动——接连函数的图画是润滑的无缺失部分的曲线。

接连的数学界说

图1

图1中,f(x)x不断的而且无限的趋近于a的时分,f(x)则无限的挨近f(a),由此咱们用极限的言语描绘便是:

1-1

这样咱们就用1-1等式作为一个函数f(x)a点接连的界说,不得不说这个界说是宽松的,咱们看到之后尽管知道是这么回事,可是脑子里仍是没有一个切当的概念,究竟契合是么规范才是接连?数学大师们经过精心的调查发现了函数f(x)a点接连需满意三个条件:

  1. af(x)的界说异域范围内,这样f(a)是存在的。
  2. f(x)x趋近于a的过程中要存在一个极限。
  3. 这个极限和f(a)持平。

这样咱们就能切当的判别f(x)上恣意一点是不是接连了。这样图1中的b点便是接连的,bf(x)的界说域存在,趋于b的极限存在且等于f(b);c点在f(x)界说域中,可是x趋于cf(x)的极限不存在;d点尽管有界说而且双侧极限存在且持平,可是这个极限不等于f(d).

上面的三个条件给出了一个函数在特定点接连要契合的特征,那么一个函数在其界说域上每一点都是接连的,咱们就说这个函数是接连的。

接连与导数的相关

咱们能够把接连的式子1-1换一个写法:

1-2

1-3

假如咱们让Δy=f(x+Δx)-f(x)那么极限在某个点接连的界说就成为:

1-4

这个式子生动地说明晰接连函数在界说域内任何一个点自变量发生细小改变,因变量就有相应的细小改变,印证了咱们感官知道的正确性。

那么这个接连和导数有什么关系呢?

1-5

这式子怎样这么长?不过没什么困难的,由极限运算的界说和导数的界说很简单就推导出来了,关键是怎样了解这个成果。1-5中最左边是接连的界说式子,它竟然等于最右面的导数和0相乘,其实这个式子反过来看最好了解:假如导数存在,而且和0相乘那么这个点便是契合接连的界说,也便是说这个函数在该点接连,所以这就形成了咱们最常见的定论——一个函数假如在一个点可导,那么它必定在这个点接连。

“核算理论”将继续更新极简微积分系列,期望我的描绘能对读者有所协助,欢迎重视和谈论。

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